El Tirador Matemático

"La (perversa) naturaleza del Desvío Standard"

Denton Bramwell [USA]

Introducción a “El Tirador Matemático”

Por Juan Moratto

Estimado Lector, a muchos les encantan los cálculos y a otros les producen escalofríos. Luego de mucho meditar nos propusimos desmitificar la dificultad que entrañan las matemáticas. ¿Qué tiene que ver esto con el tiro, las armas, la cartuchería? Absolutamente todo. La ciencia balística, teórica o práctica se sustenta maravillosamente bien en las matemáticas (esto a veces, para los matemáticos, nos resulta inquietante) y las armas y sus mecanismos en la ingeniería mecánica. Estimo que los científicos fueron fatalmente tentados a profundizar y encontrar explicaciones del comportamiento de los proyectiles y luego de los propelentes y de las armas desde el origen mismo de la ciencia balística desde hace casi 500 años.

Desde el punto de vista práctico, pienso que conviene saber un poco de todo, pero mucho de una sola cosa. Hay quienes les gustará profundizar sobre los conceptos de estos artículos y otros que los “pasarán por encima”.

Para quien se detenga a leer con curiosidad, las notas le permitirán discernir entre lo “real” y lo “supuesto”, entre las “opiniones personales” y los “hechos”. El comportamiento de los proyectiles, armas y propelentes se encuadra dentro de un campo de conocimientos objetivo, que admite cierto grado discusión –pero sobre todo en cuanto al uso, destino o circunstancia en la que se aplica, pero sin invalidar ciertas leyes fundamentales-. Quien no tiene estos conocimientos, o los pasa por alto, simplemente opina, y muchas veces el hecho que no se sustenta sobre una base rigurosa, comprobable y repetible, es solo una “experiencia” lo cual no necesariamente conducirá a una ley infalible.

Leemos constantemente notas de armas donde sus redactores, especialistas en la materia, generalmente debido a errores conceptuales –la mayoría de buena fe-, expresan opiniones personales que tratan de generalizar y proyectar hacia otros casos que no se parecen en nada al concepto original. Hay infinitos ejemplos. La serie de artículos que hemos denominado “El Tirador Matemático” le brindará las herramientas para desarrollar SU propia opinión respecto de lo que otro está expresando acerca de este apasionante Mundo de las Armas y de SUS propias experiencias.

Habrá artículos que serán fáciles de comprender, y otros que demandarán su relectura, es como cualquier camino: tramos fáciles y tramos dificultosos, haremos de nuestra parte todo lo posible para que, al menos, resulte ameno y, sobre todo, práctico, con mucho sentido común.

Noviembre 2009

"La (Perversa) Naturaleza del Desvío Standard"

Denton Bramwell

El “Desvío Standard” es más simple de entender de lo que usted imagina, pero, a la vez, difícil de interpretar. Si lo comprende bien, puede usarlo para tomar decisiones importantes a la vez de evitar cometer la tontería de aceptarlo a ciegas por la facilidad de su cálculo.

La cruda y teórica introducción

Existen cuatro conceptos que le serán de utilidad, si los comprende bien.

• El desvío standard es indicador que representa la medida de dispersión de sus datos entre sí. Cuanto más grande es el desvío, en términos numéricos, los datos estarán más dispersos –o serán más disímiles- entre sí

• El desvío standard es difícil de estimar con precisión.

• Los cambios que se pueden producir en el desvío standard son extremadamente difíciles de detectar en forma confiable.

• Las desviaciones simplemente no se suman. Esto produce que ciertos fenómenos o procesos  se comporten de determinada manera que, para el no iniciado, le parezcan un rompecabezas.

El desvío standard es una manera elaborada de promediar la distancia de cada punto con respecto al promedio total. Usted debe tomar la distancia que existe de cada punto con respecto al promedio (o media), sumar todas estas distancias elevadas al cuadrado (es decir, cada una multiplicada por sí misma, algo que se denomina “suma de los cuadrados”) y dividirlo por n-1 (ver 1). En donde n es la cantidad de datos o puntos de la muestra que se ha considerado.

Una vez que obtiene este número, le aplica la raíz cuadrada. A pesar de haber elevado al cuadrado las distancias, sacarles la raíz cuadrada, y de restarle 1 a la cantidad de puntos observados, aún es una forma elegante de promediar la distancia con respecto a un promedio. (RDO: adjuntamos una planilla de cálculo tipo Excel que le será de gran ayuda ya que no necesitará recordar fórmulas: ya están incluídas dentro del Excel, sólo deberá completar los datos!)

Para aquellos datos que se distribuyen o toman valores de tipo “normal”, es decir, los datos toman la forma de una campana, de menor a mayor y luego de mayor a menor en forma relativamente contínua, el 68% de los casos cae dentro de lo que llamamos “un desvío standard de la media”,  el 95% de los datos cae dentro de “dos desvíos standard de la media” y el 99,7% dentro de “tres desvíos standard de la media”.

Por ejemplo, si el desvío standard de la velocidad del proyectil que dispara de su arma es de 30  pies/segundo, según se lo indica el cronógrafo o su calculadora, entonces el 95% de sus disparos se encontrará en más o en menos 60 pies/segundo con respecto al valor promedio.

En un .308 Win con 2500 pies/segundo de velocidad promedio y un desvío standard de 40 pies/segundo, el 95% de los disparos se encontrará entre 2580 pies/segundo y 2420 pies/segundo.

Para pequeñas cantidades de datos, el “rango” (el valor mayor menos el valor menor, o lo que algunos tiradores denominan “dispersión máxima”) puede ser convertido en forma confiable a la desviación standard.

De hecho, esta estimación del desvío standard es probablemente un poco mejor que el método de la suma de los cuadrados cuando “n” es pequeño, ya que no tiene la tendencia a sub-estimar las variaciones en las pequeñas muestras, tal como lo hace el método de la suma de los cuadrados de las diferencias.

Por ejemplo, si efectúa cinco disparos, y la velocidad más alta del proyectil en boca de cañón es de 2900 pies/segundo, y la más baja es de 2800 pies/segundo, entonces el desvío standard de su velocidad en boca se puede estimar así:

(2900 – 2800) / 2,326 = 42,99 pies/segundo.

Aplicación Práctica Nro. 1: Evaluación de las Velocidades en boca de cañón

Recuerde. El desvío standard es difícil de estimar con precisión.

Al disparar cinco tiros, y medir algo respecto de ellos, usted está tomando una “muestra”. A partir de esa “muestra”, espera realizar alguna estimación de cómo se comportará el arma en el futuro, a lo largo de muchos disparos. Al estar analizando una “muestra”, su estimación futura será imperfecta, aunque puede ser suficientemente precisa como para resultarle útil.

Supongamos que un recargador se deja llevar, imprudentemente, por la intención de obtener un desvío standard de sus recargas próximas a “cero”. Efectúa cinco disparos y cronografía cada uno: 2960, 3002, 2982, 2976 y 2981 pies/segundo, calcula el desvío y obtiene 15,04 pies/segundo, y se siente muy contento porque sus recargas son muy “consistentes”. ¿Pero realmente esto es cierto? (RDO: ver planilla Excel para el cálculo)

Es totalmente cierto que esta muestra de cinco disparos tiene un desvío standard de 15,04, pero qué nos indica con el comportamiento futuro que tendrán sus técnicas de recarga? Si repetimos esta misma prueba 100 veces, usando exactamente los mismos métodos, técnicas y componentes, entonces 95 veces de cada 100 encontrará un desvío standard comprendido entre 9,77 y 35,68.

Estadísticamente, decimos que esto es verdad, el desvío standard a largo plazo puede encontrarse con facilidad dentro de este rango. De manera que, basándose en una muestra de cinco disparos, el tirador que piensa que tiene una excelente dispersión en las velocidades puede, realmente, tener un desvío tan alto como 35.68 el cual es bastante típico de obtener en la munición de fábrica o “factory”. Entonces, cuando tomó sus valores fue su día de suerte. Los cinco disparos que efectuó estaban muy cerca uno de otro, simplemente por el factor suerte.

El recargador que no reconoce este hecho puede fácilmente comenzar una “caza de fantasmas”. Un día, efectuará sus disparos de prueba y estará muy contento con los resultados obtenidos. La próxima vez sentirá que el mundo se viene abajo y no logra darse cuenta de qué cosa hizo mal. El hecho es que, sencillamente, nada ha cambiado.

Aplicación Práctica Nro. 2: Evaluación de los Blancos

Los blancos son un poco más complejos que las velocidades de los proyectiles, debido a que un grupo es bi-dimensional, uni-dimensional (desvío horizontal y desvío vertical, en vez de, solamente, velocidad).

Sin embargo, en forma similar al caso de la velocidad de los proyectiles, el tamaño del grupo es variable, y es un demonio escurridizo cuando se esté trabajando con pequeñas muestras. Si está usando grupos de cinco disparos para evaluar la agrupación, debe esperar que esos grupos varíen en más o menos alrededor del 50% sin cambio alguno ni el la carga, ni en el fusil ni en el desempeño del tirador mismo.

De manera que nuestro tirador va al polígono y dispara grupos de 5/8 pulgadas ( 0.625 pulgadas o 1.59 cm aprox.). Muy contento consigo mismo, intenta otra serie, y obtiene  1 3/8 pulgadas ( 1.375 pulgadas o 3,49 cm aprox.). Ahora se siente frustrado y tratando de determinar que funcionó mal con esa segunda tanda de disparos. Después de todo, su primera agrupación fue mucho mejor, de manera que debe haber hecho algo mal.

Tal alegría y frustración es un gasto inútil de energía.

Si el fusil es, verdaderamente, una máquina de agrupar en 1 pulgada (2,54 cm), entonces el tirador debe esperar que el 95% de sus agrupaciones de cinco disparos se encuentren dentro del rango de ½ pulgada (1,27cm) y 1 ½ pulgadas (3,81 cm), sin ningún cambio, absolutamente, en el desempeño real del conjunto arma-tirador. No es posible estimar en forma confiable el comportamiento de un fusil respecto de una gran cantidad de disparos con solamente uno o dos grupos de cinco disparos. Las agrupaciones reales con gran cantidad de disparos que se encuentren en un rango de dispersión de más o menos el 50% no indican ningún cambio real en algún factor.

Aplicación Práctica Nro. 3:  Evaluando Cambios

Partiendo de la regla número 3, los cambios en las variaciones son extremadamente difíciles de detectar.

Nuestro recargador ha estimado, mediante 25 disparos de prueba, que su desvío standard a largo plazo está realmente cercano a los 25 pies/segundo. Cuidadosamente ajusta su proceso de recarga y dispara otros 25 tiros, con un desvío standard de 20 pies/segundo. Obviamente, una agradable mejora, ¿Verdad? Los datos no confirman esta conclusión.

Una de las mejores pruebas para analizar el desvío standard es la denominada Prueba F (ver nota 2). En esta prueba, observamos la proporción de variación de dos desvíos standard diferentes, elevados al cuadrado. 25 disparos en cada grupo de prueba no es suficiente para detectar una proporción de 4 a 5 (4:5) de los desvíos estándares, tal como tenemos en el ejemplo. Se requiere algún valor que se aproxime a los 100 datos en cada grupo.

De lo contrario, lo que podemos pensar como un cambio real puede, fácilmente, ser una variación casual, o aleatoria.

Como regla general, se necesitan 22 datos en cada grupo para detectar una proporción 1 a 2 (1:2) entre dos desvíos estándares diferentes, alrededor de 35 datos para determinar una proporción de 2 a 3 (2:3) y 50 datos para determinar una proporción de 3:4.

En un ejemplo práctico, si piensa que ha reducido el desvío standard de la velocidad de sus proyectiles de 20 a 15 pies/segundo, necesita cronografiar 100 disparos, 50 para cada lote. Si la razón o proporción entre los dos desvíos está en el orden de 3 a 4 (3:4) o más, está justificado en afirmar que se ha producido un cambio real.

Como si no fuera una tarea suficientemente difícil, la prueba F es notablemente sensible a cualquier anormalidad en los datos.

Dados los dos lotes con una muestra del tamaño significativo antes mencionado pero, además, sensible a las anormalidades o variaciones, es mucho más difícil para cualquier persona establecer si el cambio en el desvío standard es real o si, simplemente, fue un día de suerte. En consecuencia, son muchos los que llevan a cabo pruebas –de armas, de municiones, de recargas- y extraen conclusiones sobre una cantidad verdaderamente insuficiente de datos.

Si está haciendo una prueba realmente rigurosa, necesita algún tipo de software estadístico (por ejemplo, QuikSigma, Minitab, o cualquiera de similar índole) para evaluar cambios en las variaciones. Los programas estadísticos no le evitarán las pruebas para la obtención de las muestras o datos, pero ayudan a realizar una evaluación inteligente de los resultados obtenidos.

Aplicación Práctica Nro. 4: Deje de jugar con cosas que no tienen importancia

Los desvíos standard simplemente no se suman. Si no comprende las consecuencias de este hecho, pasará un montón de tiempo trabajando en los factores variables de un proceso que realmente no impacta en nada los resultados. Esto, seguramente se vea mejor con un ejemplo personal. En este caso sobre recarga de municiones.

Cuando comencé a recargar, pesaba a mano cada carga de pólvora para los cartuchos de mis fusiles.

Mi pequeño .223 acostumbraba a agrupar cinco disparos en ½ pulgada (1,27 cm) a 100 yardas (91,4 metros). Es un fusil muy homogéneo y consistente en su rendimiento.

Algunas de mis primeras recargas lograban un desvío standard de la velocidad del proyectil en boca del cañón de alrededor de 40 pies/segundo, lo cual no resultaba extraordinario. La munición “factory” marcaba unos 35 pies/segundo aproximadamente. A mi .223 eso no le preocupaba. Se mantenía agrupando consistentemente, al menos para un arma deportiva. Mejoré mis métodos, y hallé, sin mucho esfuerzo que podía estar promediando un desvío del orden de los 20 pies/segundo y con un poco más de esfuerzo, podía reducirlo, inclusive, al rango de la decena.

De manera que tomemos el ejemplo de las recargas hechas prestando una relativa atención a los desvíos estándares y usemos 25 pies/segundo como el desvío standard en la velocidad con nuestro ejemplo.

En ese momento, me gustaba usar la pólvra Varget en mi .223 (pólvora producida por la firma Hodgdon para cartuchos de arma larga). De manera que hice una pequeña prueba con mi tolva Lee modelo Perfect Powder Measure, para ver cuanto de consistente era con la Varget. Dosifiqué una gran cantidad de cargas y pesé cada una de ellas. El resultado fue un desvío standard de 0,11 grains.

En este calibre, 1 grain de pólvora implica alrededor de 100 pies/segundo de velocidad en boca. De manera que el desvío determinado en 0,11 grains en la carga de pólvora es equivalente a 11 pies/segundo de velocidad en boca. Ahora bien, debemos combinar esa variación con los 25 pies/segundo existentes ya que estamos analizando si al pesar la carga de pólvora a mano, individualmente, realmente producía alguna diferencia.

Para combinar los 25 pies/segundo y los 11 pies/segundo, elevamos al cuadrado cada uno de ellos (los multiplicamos por sí mismos), los sumamos, y extraemos la raíz cuadrada del resultado.

Raíz cuadrada de (25 x 25 + 11 x 11) = 27.31 pies/segundo.

Para un 30-06, donde un grain de pólvora equivale a 50 pies/segundo, los resultados son aún menos alentadores.

Raíz cuadrada de (25 x 25 + 5,5 x 5,5) = 25.59 pies/segundo

En consecuencia, si usamos la tolva en forma directa para aplicar una carga de pólvora, en vez de pesarlas individualmente, el desvío standard de la velocidad aumentará de 25 a 27.31 pies/segundo o 25.59 pies/segundo, dependiendo para qué fusil este preparando la recarga. La detección de un cambio tan pequeño requiere varios cientos de cartuchos. El día que hice estos cálculos, dejé de pesar individualmente cada carga de pólvora en mis recargas para arma larga. Es una total pérdida de timpo en mi caso.

Cuando combina varias fuentes de variación, si alguna de ellas es mayor que las demás, ella sola casi en forma completa determinará la variación total. No existe ningún beneficio práctico al trabajar las fuentes de variación menos incidentes. Debe encontrar el origen de las variaciones más importante, eliminarlo y trabajar sobre lo que está haciendo sin alterar nada más.

Conclusiones:

1.  El desvío standard es simplemente un promedio elaborado que indica en qué medida un dato determinado está alejado del promedio del conjunto de datos que se observaron. Cuanto mayor es el desvío y más alejados están los datos de ese promedio, concluímos que los datos están más dispersos.

2. Para muestras de datos u observaciones tan pequeñas como hemos visto, cinco, por ejemplo, deberá usar el “rango” en vez del desvío standard. La razón es que para poca cantidad de datos el desvío standard generalmente minimiza las variaciones reales.

3.  Base las estimaciones del desvío standard en pequeñas muestras SOLAMENTE si acepta que está introduciendo un alto grado de INCERTIDUMBRE en sus estimaciones. Se require una gran cantidad de datos u observaciones para estimar con precision un desvío.

4.  No interprete los pequeños cambios en una variación como un cambio real, a menos que tenga una muestra suficientemente grande como para justificar esa conclusión.

5.  Evalúe la precisión de un arma basándose en muchas agrupaciones. No se distraiga por cambios en el tamaño del grupo que se encuentren en más o menos el 50% del tamaño del grupo que se obtendría al efectuar, a lo largo del tiempo, un gran volumen  de disparos. Tales variaciones son completamente explicables, son variaciones normales al azar o “aleatorias”, y no indican ningún cambio en el arma, las recargas o cartuchos ni en la técnica de tiro.

6.  Si va a comparar desvíos estándares emplee proporciones de estos desvíos y los tamaños de las muestras (cantidad de observaciones) mostradas en este artículo.

7.  Como los desvíos estándares se suman extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los desvíos individualmente elevados al cuadrado (multiplicados por sí mismos), el desvío standard más grande tendrá una influencia desproporcionada. Una aplicación práctica de esto es que si tolva dosifica de manera constante y consistente, y el desvío standard de la velocidad de la recarga está en el rango de los 20 pies/segundo, pesar cada carga de pólvora es una pérdida de tiempo. Otra aplicación es que si está intentando mejorar algo, solamente la fuente de variación más grande es la que deberá ser identificada y reducida. Raramente valdrá la pena trabajar sobre los factores de menor incidencia.

Nota nro. 1: Antes de 1925, todos dividían por “n” –total de datos-, pero luego, el matemático Fischer apareció en escena con su libro presentando el tema del “análisis de variaciones” o ANOVA (análisis de variancia), “n-1” hace que las mátemáticas en el ANOVA funcionen con mayor “limpieza” y la influencia de este método sobre la ciencia estadística fue profunda. Luego de 1925, todo el mundo se orientó a “n-1”. La elección de “n” o “n-1” es simplemente un tema de conveniencia, y no oculta, en absoluto, ningún secreto sólo conocido por los estadígrafos.

Nota nro. 2: así denominada en honor a Sir Ronald Fischer, el inventor del ANOVA.

Nota nro. 3: La calculadora y el Cronógrafo

Para extraer la raíz cuadrada de un número es suficiente con presionar (en la calculadora de ejemplo) la tecla que se encuentra a la izquierda de “OFF” y para lograr el cuadrado de un número, en la mayoría de las calculadoras, se presenta/escribe el número en el display y se presiona la tecla “X” (multiplicación) dos veces.

Nota nro. 4: Cualquier calculadora científica incorpora automáticamente los cálculos mencionados en la presente nota. En realidad no es necesario adquirir una, sobre todo si tiene una PC, ya que la Calculadora del Windows incorpora estas funcionalidades, y muchas más. Simplemente haga “clic” en Calculadora y se elige “Ver” -> “Científica”.

El desvío standard está representado por una “s”, el promedio por “Ave” (de average, promedio o media) y así sucesivamente. También está disponible la planilla tipo Excel para facilitar aún más los cálculos.

Con respecto a los cronógrafos para medir la velocidad del proyectil, prácticamente todos incorporan, automáticamente las funciones de media o promedio, y desvío estándar, tanto parcial, por grupos como total de la muestra completa, por lo que solo basta lápiz y papel para realizar los cálculos restantes, si fuera necesario.

Cronógrafo Marca Chrony modelo Beta Master, con todas las funciones incorporadas